У одного человека было много друзей и он решил письменно поздравить их всех с Новым Годом. Написал письма, запечатал в конверты, но забыл, в каком конверте кому написано письмо. Тогда он просто на каждом конверте написал адрес одного из друзей (разумеется все разные) и отправил их. Вопрос: велика ли вероятность, что хотя бы одно письмо попадёт адресату?
З.Ы. НЕ требуется точный подсчёт, это не очень легко, просто оценить её при большом количестве друзей.

Ряд к 1 сходится

сообщение Игорь В.
У одного человека было много друзей и он решил письменно поздравить их всех с Новым Годом. Написал письма, запечатал в конверты, но забыл, в каком конверте кому написано письмо.

1- ( 1- (1+2+3+...+N) / (N!) ) ^ N


и то может и не правильно...


Изменено 31-12-2004 автор Maverik

To Oleg M

Ксожалению, это не так

To Maverik

Уже тепло! . Постарайтесь оценить, к чему стремится вероятность при N, стремящемся к бесконечности

Отличная задача! Очевидно, решить ее можно и без построения точной формулы для произвольного конечного N , и я как будто бы знаю один такой способ, но мне он показался недостаточно убедительным. Поэтому я все-таки построил точное решение, в виде конечной суммы с N слагаемыми, и после этого найти его предел при N стремящемся к бесконечности не составило труда.
Ответ говорить пока не буду, скажу только, что в него входит число e.

Поэтому я все-таки построил точное решение, в виде конечной суммы с N слагаемыми, и после этого найти

Попробуйте рассуждать "от противного", т.е.вычислить вероятность того, что один из них НЕ получит своего письма. Никакой высшей математики не потребуется. Этот приём часто используют в теории вероятностей.

To Maverik
И ответ тоже неправильный

Изменено 4-1-2005 автор Игорь В.

Видимо, пришла порадать ответ. Жаль, что никто, кроме Дмитрия, не ответил правильно. Верное решение он сообщил мне по Ю2Ю, с чем я его и поздравляю .
Решение же таково. Вероятность получить своё письмо у одного адресата равна 1/N (очевидно).Значит, вероятность не получить своего письма 1-1/N. То же самое относится и ко второму человеку. При достаточно больших N это события независимые, поэтому вероятность того, что и первый и второй не получат своих писем равна произведению (1-1/N)(1-1/N)/Продолжая это рассуждение получим, что вероятность того, что ни один из адресатов НЕ получит своего письма, равна (1-1/N)(1-1/N).......(1-1/N)=(1-1/N)^N. А значит вероятность того, что хотя бы один получит своё письмо равна 1-(1-1/N)^N=1-(1/(1+1/N)^N. При увеличении N это стремится к 1-1/е, что близко к 2/3. Таким образом почти вдвое вероятней, что кто то получит своё письмо, чем то, что никто своего не получит.
Совсем не очевидный на первый взгляд результат .

Красивая задача и ответ!
Dmitrii, как всегда на высоте

Красиво

действительно здорово!

особенно прикольно что зависимость одних и тех же событий одного и тогоже испытания в зависимости от N может изменяться.
как-то я раньше над этим даже не задумывался.


2ИгорьВ - интересно, а существуют ли в современных математических теориях законы описывающие изменения [/b]численного[/b] значения зависимостей событий ???

Случайно обратил внимание

Если уж речь идет о достаточно больших N (настолько больших, что события можно будет считать независимыми) , то тогда выражение 1/N -> 0,

но ведь и (1+2+3 ... + N ) / (N!) -> 0 при больших N

значит при достаточно больших N формула, которую привел я выше 1- ( 1- (1+2+3+...+N) / (N!) ) ^ N будет правильной

или я чего-то не понимаю ?

Изменено 11-1-2005 автор Maverik

Во первых, то что я написал о независимости событий, это специально для тех, кто очень хорошо знает теорию вероятностей, чтобы ко мне не придрались . На самом деле уже при N =10 (не так уж и много друзей, кого поздравить ) совпадение в третьем знаке! Приведенная Вами формула даёт стремление к 0 при увеличении N. Всё дело в том, что важно не только что к чему стремится, а НАСКОЛЬКО БЫСТРО стремится. Если Вы внимательно посмотрите на приведенный мною ответ, величина (1+1/N)^N стремится к е=2,7172..., т.е важна именно СКОРОСТЬ возрастания или убывания величины. Детали этого, если интересно, могу объяснить в Ю2Ю.
Что касается Вашего вопроса об оценке зависимости событий от числа испытаний, то в каждом конкретном случае это должно оцениваться отдельно.